Teori ring struktur aljabar

TEORI RING STRUKTUR ALJABAR

Halo teman teman!. Kalian pasti pernah mendengar dengan apa yang namanya dengan ring .yup betul ring.kalau dalam kehidupan sehari -hari, ring itu bermacam macam yah teman.yang pastinya berbentuk bulat. Nah kali ini kita akan bahas sedikit tentang teori ring dalam matematika. Sesuai dengan namanya, ring itu berbentuk bulat jadi teori ring ini adalah rangkaian beberapa operasi matematika tapi dalam lingkung ring . Nah supaya lebih paham kita langsung bahas aja yuk.! 

Defenisi ring

  Ring adalah suatu himpunan tak kosong ,yang mempunyai dua operasi biner yaitu, perkalian dan penjumlahan. Berikut ini adalah beberapa  defenisi ring. 

Defenisi 1

Ring didalam struktur aljabar terdiri dari misalkan A dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian(*) dan harus memenuhi syarat dibawah ini. 

1.A,+> grup abelian. 

2.terhadap perkalian

(1).hukum tertutup :jika a, b dalam A maka ab dalam A. 

(2).hukum asosiatif:(ab) c=a(bc) untuk semua a,b dan c dalam A. 

(3).hukum distributif kanan:a(b+c)=ab+ac untuk semua a, b dan c dalam A. 

(4).hukum distributif kiri:(a+b)c=ac+bc untuk semua a, b dan c dalam A. 

Dalam sebarang ring o merupakan identitas terhadap penjumlahan sedangkan -a menyatakan invers a terhadap penjumlahan. Dalam sebarang ring A, pengurangan didefenisikan pada A dengan a-b= a+(-b). 

Contoh:

(1).dibuktikan bahwa himpunan B yang terdiri dari 2 elemen yaitu (o. a) dengan operasi yang didefenisikan dengan 0+0=a+a=0 0+a=a+0=a 0 0=0 a =a 0 =0 a a=a merupakan ring. Sebagai contoh Z2=(0 1) dengan operasi penjumlahan dan pengandaan modulo merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut. 

Teorema l

Diketahui A sebarang ring dan a,b,c sebarang anggota A. Sifat sifatdibawah ini berlaku. 

(1).0.a=a.0=0

(2).(-a)  b= a (-b)  =-(ab) 

(3).-(-b) =b

(4).(-a)  (-b) = ab

(5).a(b-c)=ab-ac.

    Untuk lebih paham, dibawah ini ada bukti dari  penyataan diatas. 

(1).0.a+ba =(0+b) a =ba dan pada sisi lain 0.a + ba. Dengan menggunakan hukum kanselasi didapat 0.a = o.  = a. 0= 0.

(2).karena (-a) b + ab = (-a + a)b = 0.b maka hal ini berarti bahwa  (-a) b merupakan invers dari ab terhadap penjumlahan. Karena invers dari gruo A, +> tunggal maka (-a) b satu satunya invers dari ab terhadap penjumlahan. Dengan simbol :(-a) b = -(ab)  = a(-b) =-(ab). 

(3).persamaan b+(-b) =-b+b=0 menunjukkan bahwa b merupakan anggota yang bila ditambahkan dengan (-b) sama dengan 0 oleh karena itu, b merupakan invers dari -b terhadap penjumlahan dan disimbolkan dengan b =-(-b). 

(4).(a-)  (-b) =a(-(-b)) =ab

(5).a (b-c)=a (b+(-c))=ab+a(-c) =ab+(-(ac)) =ab-ac. 

    Sampai disini penjelasan singkat tentang teori ring, dalam struktur aljabar,kalau ada kesalahan mohon maaf dan trimakasih karena membaca.

 

---